संभाव्यता (Probability) - सविस्तर नोट्स

संभाव्यता (Probability)

१) संभाव्यता म्हणजे काय?

एखादी घटना घडण्याची शक्यता म्हणजे संभाव्यता. ती 0 ते 1 दरम्यान असते.

0 → घटना अशक्य
1 → घटना निश्चित

P(E) = अनुकूल घटना / एकूण शक्य घटना

२) मूलभूत संज्ञा

Trial: प्रयोग (उदा. नाणे उडवणे)
Outcome: निष्कर्ष (Head किंवा Tail)
Sample Space (S): सर्व शक्य निष्कर्षांचा संच
Event (E): विशिष्ट घटना

नाणे उडवले → S = {H, T} Head येण्याची संभाव्यता = 1/2

३) संभाव्यतेचे प्रकार

Classical Probability
Empirical Probability
Subjective Probability

४) महत्वाची नियम (Rules)

१) Addition Rule

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

२) Multiplication Rule

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (Independent events)

३) Complement Rule

P(A') = 1 − P(A)

५) Independent आणि Dependent घटना

Independent: एकमेकांवर परिणाम नाही (उदा. दोन नाणी)
Dependent: एक घटना दुसऱ्यावर अवलंबून (उदा. पत्ते न परत ठेवता काढणे)

६) उदाहरणे

(१) एक पासा टाकला → 6 येण्याची संभाव्यता = 1/6 (२) दोन नाणी → दोन्ही Head = 1/2 × 1/2 = 1/4 (३) Complement Example किमान एक Head = 1 − P(दोन्ही Tail) = 1 − 1/4 = 3/4

७) Conditional Probability

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

A घटना B घडल्यावर घडण्याची शक्यता.

८) Permutation आणि Combination वापर

जेव्हा निवड किंवा मांडणी असते तेव्हा nCr आणि nPr वापरले जातात.

nCr = n! / r!(n−r)!

९) परीक्षेत विचारले जाणारे प्रश्न प्रकार

नाणे/पासा आधारित प्रश्न
पत्ते आधारित प्रश्न
किमान/जास्तीत जास्त घटना
Conditional Probability
Replacement/Without Replacement प्रश्न

१०) Exam Strategy

Sample Space स्पष्ट लिहा.
Complement वापरल्यास वेळ वाचतो.
Independent की Dependent ओळखा.
Factorial simplification शिका.

Probability हा Banking व SSC मध्ये अतिशय महत्वाचा topic आहे.