क्रमांतरण व संयोजन (Permutation & Combination)

१) मूलभूत संकल्पना

जेव्हा वस्तूंची मांडणी (Arrangement) महत्वाची असते तेव्हा क्रमांतरण (Permutation) वापरले जाते. जेव्हा फक्त निवड (Selection) महत्वाची असते तेव्हा संयोजन (Combination) वापरले जाते.

Permutation → Order matters Combination → Order does NOT matter

२) Factorial (घातांक चिन्ह !)

n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 1

उदा. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 0! = 1

३) क्रमांतरण (Permutation)

(A) n वस्तूंची सर्व मांडणी

nPr = n! / (n − r)!

उदा. 5 विद्यार्थ्यांमधून 3 जणांची मांडणी = 5P3 = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60

(B) सर्व n वस्तूंची मांडणी

nPn = n!

४) पुनरावृत्ती असलेले क्रमांतरण

n! / (p! q! r!)

उदा. "BALLOON" या शब्दातील मांडणी: 7! / (2! 2!) (B=1, A=1, L=2, O=2, N=1)

५) संयोजन (Combination)

nCr = n! / [ r!(n − r)! ]

5 विद्यार्थ्यांमधून 3 निवड = 5C3 = 5! / (3! 2!) = 10

६) महत्वाचे संबंध

nPr = nCr × r!

nCr = nC(n − r)

७) विशेष प्रकारचे प्रश्न

गोलाकार मांडणी (Circular Permutation) → (n−1)!
एकत्र बसवणे
वेगळे बसवणे
गट बनवणे
Committee selection

८) उदाहरणे

(१) 4 मुलगे व 3 मुली रांगेत बसवण्याचे मार्ग = 7! = 5040 (२) 6 जणांमधून 2 जणांची निवड = 6C2 = 15 (३) 5 जण गोल टेबलावर बसवणे = (5−1)! = 24

९) परीक्षेत विचारले जाणारे प्रकार

शब्द मांडणी
गोलाकार मांडणी
Committee निवड
प्रतिबंध (Restriction) असलेले प्रश्न
Permutation + Probability मिश्र प्रश्न

१०) Exam Strategy

Order महत्वाचा आहे का ते आधी ठरवा.
Factorial simplify करा.
Symmetry property वापरा.
Restriction प्रश्नात case बनवा.

Banking आणि SSC मध्ये हा topic High Scoring आहे.