संख्या आणि संख्यांचे प्रकार

संख्या आणि संख्यांचे प्रकार (Numbers and Types of Numbers)

(महाराष्ट्र लोकसेवा आयोग / सरळसेवा / ZP / पोलीस भरती / तलाठी / क्लार्क / MPSC-GROUP C साठी उपयुक्त नोट्स)

1. संख्या म्हणजे काय? (Definition of Number)

मोजणी, मापन व गणनेसाठी वापरल्या जाणाऱ्या संकल्पनांना संख्या असे म्हणतात.

उदा. 1, 2, 3, 10, 25, -7, 3/4, 0 इ.

ट्रिक (आठवण):

"मोज – माप – गणना = संख्या"

2. संख्यांचे मुख्य प्रकार (Main Types of Numbers)

संख्यांचे वर्गीकरण पुढीलप्रमाणे करता येते:

2.1 नैसर्गिक संख्या (Natural Numbers)

व्याख्या: 1 पासून सुरू होणाऱ्या व अनंतपर्यंत जाणाऱ्या संख्यांना नैसर्गिक संख्या म्हणतात.

चिन्ह: N

उदा.: 1, 2, 3, 4, 5, ...

महत्वाची वैशिष्ट्ये:

सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या = 1

0 नैसर्गिक संख्या नाही

परीक्षा ट्रिक:

नैसर्गिक = "निसर्गात मोजतो" → 1 पासून

2.2 पूर्ण संख्या (Whole Numbers)

व्याख्या: नैसर्गिक संख्या व 0 मिळून तयार होणाऱ्या संख्यांना पूर्ण संख्या म्हणतात.

चिन्ह: W

उदा.: 0, 1, 2, 3, 4, ...

महत्व:

सर्वात लहान पूर्ण संख्या = 0

ट्रिक:

पूर्ण = नैसर्गिक + 0

2.3 पूर्णांक (Integers)

व्याख्या: धनात्मक, ऋणात्मक संख्या व 0 यांचा समूह म्हणजे पूर्णांक.

चिन्ह: Z

उदा.: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

प्रकार:

धन पूर्णांक: 1, 2, 3, ...

ऋण पूर्णांक: -1, -2, -3, ...

ट्रिक:

"थंडी (-) आणि ऊन (+)" → पूर्णांक

2.4 सम संख्या (Even Numbers)

व्याख्या: 2 ने पूर्णपणे भाग जाणाऱ्या संख्यांना सम संख्या म्हणतात.

उदा.: 2, 4, 6, 8, 10, ...

सूत्र:

सम संख्या = 2n

ट्रिक:

शेवटचा अंक = 0,2,4,6,8

2.5 विषम संख्या (Odd Numbers)

व्याख्या: 2 ने पूर्णपणे भाग न जाणाऱ्या संख्यांना विषम संख्या म्हणतात.

उदा.: 1, 3, 5, 7, 9, ...

सूत्र:

विषम संख्या = 2n + 1

2.6 अभाज्य संख्या (Prime Numbers)

व्याख्या: 1 व स्वतःशिवाय इतर कोणताही भाजक नसलेल्या संख्यांना अभाज्य संख्या म्हणतात.

उदा.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

महत्वाचे मुद्दे:

2 ही एकमेव सम अभाज्य संख्या आहे

1 अभाज्य नाही

ट्रिक:

"2 सोडून सगळे अभाज्य = विषम"

2.7 संयुक्त संख्या (Composite Numbers)

व्याख्या: 1 व स्वतःखेरीज इतर भाजक असलेल्या संख्यांना संयुक्त संख्या म्हणतात.

उदा.: 4, 6, 8, 9, 10, 12

2.8 सहअभाज्य संख्या (Co-Prime Numbers)

व्याख्या: ज्या दोन संख्यांचा महत्तम समान भाजक (HCF) = 1 असतो, त्या सहअभाज्य संख्या.

उदा.: (8,15), (9,20)

ट्रिक:

समान भाजक नाही → सहअभाज्य

2.9 परिमेय संख्या (Rational Numbers)

व्याख्या: ज्या संख्यांना p/q या स्वरूपात लिहिता येते (q ≠ 0).

उदा.: 1/2, -3/5, 4, 0.75

महत्व:

पूर्णांक सुद्धा परिमेय असतात

2.10 अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers)

व्याख्या: ज्या संख्यांना p/q या स्वरूपात लिहिता येत नाही.

उदा.: √2, √3, π

ट्रिक:

न संपणारे + न आवर्त दशांश = अपरिमेय

2.11 वास्तविक संख्या (Real Numbers)

व्याख्या: परिमेय व अपरिमेय संख्यांचा मिळून तयार झालेला समूह.

चिन्ह: R

2.12 मूळ संख्या (Prime Numbers)

व्याख्या: ज्या संख्येला फक्त १ ने आणि त्याच संख्येने भाग जातो, इतर कोणत्याही संख्येने भाग जात नाही.

उदाहरणे: २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, २३, ...

ट्रिक (लक्षात ठेवण्यासारखे):

२ ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.

सर्वात लहान मूळ संख्या २ आहे.

१ ही मूळ संख्या नाही.

परीक्षांसाठी महत्त्वाचे आकडे:

१ ते १०० पर्यंत एकूण २५ मूळ संख्या आहेत.

१ ते ५० पर्यंत एकूण १५ मूळ संख्या आहेत.

2.13🔺 त्रिकोणी संख्या (Triangular Numbers)

त्रिकोणी संख्या म्हणजे अशी संख्या, जी पहिल्या काही नैसर्गिक (नैसर्गिक) संख्यांच्या बेरजेने तयार होते. या संख्यांची मांडणी बिंदूंच्या (Dots) स्वरूपात केल्यास एक समभुज त्रिकोण तयार होतो.

त्रिकोणी संख्यांची मालिका (Sequence): १, ३, ६, १०, १५, २१, २८, ३६, ४५, ५५, ६६, ७८, ९१, १०५, ...

१. त्रिकोणी संख्या काढण्याचे सूत्र

'न' (n) व्या क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या काढण्यासाठी खालील सूत्र वापरले जाते:

न व्या क्रमांकाची त्रिकोणी संख्या =2n×(n+1)​

येथे n म्हणजे त्रिकोणी संख्येचा पाया (Base of Triangular Number) होय.

उदाहरणे:

चौथी त्रिकोणी संख्या (n=4) काढा:

त्रिकोणी संख्या =२४×(४+१)​

त्रिकोणी संख्या =२४×५​=२२०​=१०

(पहिली ४ नैसर्गिक संख्यांची बेरीज: १+२+३+४=१०)

दहावी त्रिकोणी संख्या (n=10) काढा:

त्रिकोणी संख्या =२१०×(१०+१)​

त्रिकोणी संख्या =२१०×११​=२११०​=५५

२. त्रिकोणी संख्येचा पाया काढण्याची पद्धत (Finding the Base - n)

जर तुम्हाला त्रिकोणी संख्या दिली असेल आणि तिचा पाया (n) काढायचा असेल, तर खालील ट्रिक वापरा:

ट्रिक (Trick):

दिलेल्या त्रिकोणी संख्येला २ ने गुणाकार करा.

येणाऱ्या उत्तरापेक्षा लगेच लहान असणारी पूर्ण वर्ग संख्या (Perfect Square) शोधा.

त्या पूर्ण वर्ग संख्येचे वर्गमूळ (Square Root) काढा.

येणाऱ्या वर्गमूळातून १ वजा करा.

वजाबाकीनंतर येणारे उत्तर म्हणजे त्रिकोणी संख्येचा पाया (n) होय.

त्रिकोणी संख्येचा पाया =2×त्रिकोणी संख्या​−1​

(ही पद्धत फक्त 'त्रिकोणी संख्या' ओळखण्यासाठी आणि पाया काढण्यासाठी सोपी आहे).

उदाहरण:

संख्या २८ चा पाया काढा:

२ ने गुणाकार: २८×२=५६

लगेच लहान पूर्ण वर्ग संख्या: ५६ पेक्षा लहान पूर्ण वर्ग संख्या ४९ आहे.

वर्गमूळ: ४९​=७

पाया (n) काढण्यासाठी: ७−१=६

(म्हणजे २८ ही सहावी त्रिकोणी संख्या आहे: १+२+३+४+५+६=२१)

माफ करा, या उदाहरणात ५६ पेक्षा लहान संख्या ४९ घेतली आहे, ज्यामुळे उत्तर ७−१=६ आले आहे. परंतु १+२+३+४+५+६=२१ असते.

सुधारित ट्रिक्स (सोपी पद्धत):

त्रिकोणी संख्येचा पाया काढण्यासाठी खालील सोपी पद्धत वापरा:

दिलेल्या त्रिकोणी संख्येला २ ने गुणाकार करा. (उदा. २८ × २ = ५६)

आता ५६ चे असे दोन अवयव (Factors) शोधा, जे क्रमवार असतील (म्हणजे n आणि n+1).

५६ चे अवयव: ७×८

या क्रमवार अवयवांपैकी लहान अवयव हाच त्या त्रिकोणी संख्येचा पाया (Base) असतो.

७ आणि ८ पैकी लहान अवयव ७ आहे.

म्हणून २८ चा पाया ७ आहे.

(पडताळणी: सातवी त्रिकोणी संख्या =२७×८​=२५६​=२८**. हे बरोबर आहे.)

३. महत्त्वाचे निरीक्षण (Key Observation):

कोणत्याही दोन क्रमवार त्रिकोणी संख्यांची बेरीज नेहमी एक पूर्ण वर्ग संख्या (Square Number) असते.

उदा. ३+६=९(म्हणजे ३२)

उदा. १०+१५=२५(म्हणजे ५२)

3. परीक्षेत वारंवार विचारले जाणारे मुद्दे (Exam Focus)

सर्वात लहान अभाज्य संख्या? → 2

1 का अभाज्य नाही? → कारण फक्त एकच भाजक

0 कोणत्या गटात? → पूर्ण संख्या, पूर्णांक

√4 ही कोणती संख्या? → परिमेय

π ही कोणती संख्या? → अपरिमेय

4. सुपर शॉर्ट ट्रिक्स (One-Liners)

Natural + 0 = Whole

Whole + (-) = Integers

2 ने भाग = सम

1 आणि स्वतः = अभाज्य

p/q = परिमेय

निष्कर्ष (Conclusion)

संख्या हा गणिताचा पाया आहे. महाराष्ट्रातील सर्व स्पर्धा परीक्षांमध्ये या घटकावरून थेट प्रश्न तसेच अंकगणिताच्या इतर घटकांचा आधार म्हणून प्रश्न विचारले जातात.