📘 अनुपात आणि प्रमाण (Ratio & Proportion)

📘 अनुपात आणि प्रमाण (Ratio & Proportion)

🔹 1. अनुपात (Ratio) म्हणजे काय?

दोन किंवा अधिक समान प्रकारच्या राशींची तुलना म्हणजे अनुपात.

🔸 व्याख्या:

जर दोन राशी a आणि b असतील, तर त्यांचा अनुपात:

a : b =$\frac{a}{b}$ ​

🔸 उदाहरण:

रामकडे 10 पेन आणि श्यामकडे 20 पेन आहेत.

अनुपात= 10:20 =1:2

🔹 2. अनुपाताची वैशिष्ट्ये

दोन्ही राशी एकाच एककातील असाव्यात

अनुपाताला एकक नसते

अनुपात साध्या रूपात लिहावा

🔹 3. अनुपाताचे प्रकार

(1) साधा अनुपात (Simple Ratio)

a:b

उदा.:

12:18=2:3

(2) संयुक्त अनुपात (Compound Ratio)

दोन किंवा अधिक अनुपातांचा गुणाकार.

$(a:b) \times (c:d) = (ac : bd)$

उदा.:

$(2:3) \times (4:5) = 8 : 15$

(3) व्यस्त अनुपात (Inverse Ratio)

राश्या उलट प्रमाणात बदलतात.

उदा.:
कामगार ↑ ⇒ दिवस ↓

( जर कामगार वाढले, तर दिवसांची संख्या कमि होते आणि

जर कामगार कमि झाले, तर दिवसांची संख्या वाढते)

🔹 4. प्रमाण (Proportion) म्हणजे काय?

दोन अनुपात समान असतील तर त्याला प्रमाण म्हणतात.

🔸 व्याख्या:

a : b = c : d

याला असेही लिहितात:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ​

🔹 5. प्रमाणाचे प्रकार

(1) सरळ प्रमाण (Direct Proportion)

एक राशी वाढली तर दुसरीही वाढते.

$x \propto y$

उदा.:
काम ↑ ⇒ मजुरी ↑ (काम वाढले की, मजुरीही वाढते)

(2) व्यस्त प्रमाण (Inverse Proportion)

एक राशी वाढली तर दुसरी घटते.

$x \propto \frac{1}{y}$​

उदा.:
वेग ↑ ⇒ वेळ ↓

( जर वेग वाढवले, तर वेळ कमि लागतो आणि

जर वेग कमि केले, तर वेळ वाढतो)

🔹 6. प्रमाणाचे मूलभूत नियम

जर

$a:b=c:d$

तर,

🔸 (i) गुणाकार नियम:

$a \times d = b \times c$

🔸 (ii) उलट प्रमाण:

$b:a=d:cb$

🔸 (iii) परिवर्तन नियम (Componendo):

$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

🔸 (iv) विभाजन नियम (Dividendo):

$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$​

🔹 7. मध्यम प्रमाण (Mean Proportional)

जर

$a:x=x:b$

तर,

$x^2 = ab$

$x = \sqrt{ab}$ ​

🔸 उदाहरण:

$a=4,b=9$

$x = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$

🔹 8. तृतीय प्रमाण (Third Proportional)

जर

$a:b=b:c$

तर,

$c = \frac{b^2}{a}$​

🔹 9. उदाहरणे (Solved Examples)

उदाहरण 1:

दोन संख्यांचा अनुपात 3:5 आहे आणि त्यांची बेरीज 64 आहे. संख्या शोधा.

उत्तर:

$3x+5x=64$

(1ली संख्या +2री संख्या = 64), कारण दोन संख्यांची बेरीज 64 इतकी आहे.

$8x=64$

$x=8$

तर त्या संख्या: $x$ चि किंमत 8 ठेवल्यास-

$3x=24, 5x=40$

उदाहरण 2:

जर 4 कामगार 10 दिवसांत काम पूर्ण करतात, तर 8 कामगार किती दिवसांत काम पूर्ण करतील?

(व्यस्त प्रमाण)

$4 \times 10 = 8 \times x$

$x=5$

🔹 10. परीक्षेसाठी महत्त्वाच्या टिप्स ⭐

✔ अनुपात नेहमी साध्या रूपात लिहा
✔ सरळ व व्यस्त प्रमाण ओळखणे महत्त्वाचे आहे.
✔ $a \times d = b \times c$ हा नियम वारंवार वापरला जातो
✔ शब्दप्रश्नात राश्यांचा संबंध नीट ओळखा